1011011! Oder: Das Binärsystem

"Wusstest du schon? Es gibt 10 Gruppen von Menschen: diejenigen, die das Binärsystem verstehen, und die anderen."

© Daniele Rossi / flickr

Wer diesen Witz verstanden hat, der gehört zu denen, die sich mit den Einsen und Nullen, mit denen der Computer rechnet, schonmal genauer beschäftigt hat. Für den Rest wird sich der Witz hoffentlich nach dem Lesen dieses Eintrags offenbaren können. :-]

„Hilfe!“, wird sich wahrscheinlich der eine oder andere denken und erschrocken seinen Cursor auf das x rechts oben klicken wollen. (oder links oben für Mac-Besitzer :P)
Aber ich verspreche, so wahnsinnig mathematisch wird es hier nicht. ;-)

Zahlensysteme

Was ist denn das Binärsystem überhaupt? Es gehört zu den Zahlensystemen und baut nur auf zwei Ziffern, nämlich der 0 und und 1 auf. Auf der Welt gibt es viele Zahlensysteme. Heute zählen wir Menschen mit dem Dezimalsystem. Ein Zahlensystem hat zum Zweck, Zahlen einfach und übersichtlich darzustellen und damit rechnen zu können. Für die Bestellung von ein paar Bierchen in der Wirtschaft mögen Strichlisten ja noch ausreichen, sobald es aber darum geht, große Dinge auszurechnen, kann eine Strichliste schon sehr unübersichtlich werden.

Dafür musste ein Zahlensystem her! Und weil der Mensch 10 Finger besaß, begannen die Menschen, ihre Zahlen mit 10 zu bündeln. Alle Zahlen können also mit 10 Ziffern dargestellt werden. Das heißt, nach der Zahl 9 wird eine neue Spalte eröffnet und das Zählen fängt wieder von vorne an: 11, 12, 13, 14 usw.

Hätte der Mensch also keinen Daumen, wer weiß, wahrscheinlich hätten die Menschen das Oktalsystem zum Rechnen benutzt.

Das Binärsystem und warum der Computer in Einsen und Nullen denkt.

Es kann also nach jeder beliebigen Zahl gebündelt werden. Das machen wir teilweise auch schon. Ein Dutzend ist zum Beispiel die Zahl 12.

Lange bevor jemand auch nur ansatzweise an Computer gedacht hat, ungefähr um 1700, da dachte sich ein deutscher Mathematiker mit dem Namen Gottfried Wilhelm Leibnitz:

     „Warum denn nicht schon nach 2 Ziffern bündeln?“ 

Damit entwarf er ein Zahlensystem, das die Ziffern in ihrer einfachsten Form bündelte. Et voilá! Das Binärsystem (vom lateinischen Wort bina, was so viel wie „paarweise“ bedeutet) wurde erfunden! Auch war er der erste, der sich eine Rechenmaschine ausdachte, die mit dem binären Zahlensystem rechnen konnte. Nur war er nicht in der Lage, auch tatsächlich eine zu bauen.

Zählen im Binärsystem

Es besteht demnach also nur aus zwei Ziffern, einer 0 und 1. Wie unsere Dezimalzahlen im Binärsystem aussehen, kann man an dem Bild gut nachschauen. Und das interessante: Alles was zwei Zustände annehmen kann, kann binär dargestellt werden. Sei es der Finger, der entweder ausgestreckt oder eingezogen ist, das Licht, das entweder eingeschalten oder ausgeschalten ist oder eben Spannung, die fließt oder nicht fließt. So wie beim Computer.

Aber wieso rechnet denn nun der Computer nicht mit dem Dezimalsystem, sondern mit dem Binärsystem? Wieso können Computer nicht einfach auch in unserem Zahlensystem arbeiten? Computer sind so dumm (man mag es kaum glauben...), dass sie nur zwischen zwei Zuständen unterscheiden können. Für sie ist es viel einfacher, nur zwischen „Strom fließt“ oder „Strom fließt nicht“ zu unterscheiden, als sich 10 unterschiedliche Zustände merken zu können. Dass die Ketten der Ziffern dafür sehr schnell länger werden, macht den Computern nichts aus. Sie haben ja eine große Festplatte.

© seantoyer / flickr

Wer jetzt doch noch Lust darauf bekommen hat, zu rechnen, kann sich noch den letzten Abschnitt durchlesen, in dem ich kurz erklären möchte, wie man ganz einfach Binärzahlen umrechnet. Nerdwissen sozusagen :D

Dezimalzahlen in Binärzahlen

Nehmen wir an, wir möchten unsere Freunde verwirren und auf kryptische Art und Weise mitteilen, dass wir - sagen wir mal - in 42 Tagen Geburtstag haben. Da das Binärsystem auf Zweierpotenzen aufbaut (unser Dezimalsystem baut auf Zehnerpotenzen auf), wird die umzurechnende Zahl immer zur Hälfte halbiert und die Reste aufgeschrieben. Bei unserem Beispiel ergibt das Halbieren der 42 ganz nach Grundschulmanier 21 mit einem Rest von 0. Die 21 wird wieder halbiert und raus kommt 10 Rest 1. Und dies geht nun immer so weiter, bis man schließlich auf die 0 kommt.
Und was für eine schöne Zal dabei rausgekommen ist! Unseren Freunden können wir also sagen, dass sie sich in 101010 Tagen gefasst machen sollen, dass eine große Geburtstagsfeier steigen wird. Bleibt zu hoffen, dass sie nicht im Dezimalsystem denken, denn nach 101010 Tagen in Dezimal müsste man seinen Geburtstag im Grab feiern...

Binärzahlen in Dezimal umrechnen

Gut, jetzt hat man da eine Zahl, aber wie kann diese wieder zurück gerechnet werden? Dies erfordert schon mehr mathematisches Geschick (oder einen guten Taschenrechner).

Hierfür steht jede der Spalten für eine Zweierpotenz. Die Null in 101010 wird multipliziert mit 2⁰. Die nächste Zahl, also die 1 muss mit 2¹ multipliziert werden und so weiter. Addiert man alle Ergebnisse zusammen, so kommt man wieder zu den 42.